kümeler |
kümelerde işlemler
1. Kümelerin Birleşimi
A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir. A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir. 2. Birleşim Işleminin Özellikleri 1) A È Æ = Ai 2) A È A = A 3) A ÈB = B È A 4) A È (B È C) = (A È B) È Cv) A Ì B ise, A È B = B 5) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir. 3. Kümelerin Kesişimi A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B ninkesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir. A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir. 4. Kesişim Işleminin Özellikleri 1) A Ç Æ = Æ 2) A Ç A = A 3) A Ç B = B Ç A 4) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C) 5) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) 6) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) BİR KÜMENİN TÜMLEYENİEvrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A ya da A’ ile gösterilir.
A = {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir. Tümleyenin Özellikleri 1) E = Æ 2) Æ = E 3) ()= A 4) A È A = E ve A Ç A = Æ 5) A È B = A Ç B 6) A Ç B = A ÈB 7) E È A = E ve E Ç A = A 8) A Ì B ise, B Ì A dir. İKİ KÜMENİN FARKI A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir. A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir. Farkla İlgili Özellikler A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, 1)E – A = A 2)A – B = A Ç B 3) A – B = A È B dir. ELEMAN SAYISI A, B, C herhangi birer küme olmak üzere, 1) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B) 2) s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C)– s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C) 3) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A) 4) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun. Tenis veya voleybol oynayanların sayısı: s(T È V) = a + b + c Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı: s(T – V) + s(V – T) = a + c Sadece tenis oynayanların sayısı: s(T – V) = a Tenis oynamayanların sayısı: s(T) = c + d Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı: s(T È V) = a + b + c Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı: s(A Ç B) = s(A È B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı: s(A ÈB) = |
|